偏微分方程在物理學(xué)中的完美應用——熱方程,推導和示例
作者:老胡
偏微分方程是一個(gè)將具有一個(gè)以上變量的函數與其偏導數聯(lián)系起來(lái)的方程。為了引入偏微分方程,我們要解決一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題:模擬薄金屬棒內的溫度作為位置和時(shí)間的函數。在此過(guò)程中,我們將從物理原理推導出一維熱方程,并求解一些簡(jiǎn)單的條件:

在這個(gè)方程中,溫度T是位置x和時(shí)間t的函數,k、ρ和c分別是金屬的熱導率、密度和比熱容,
稱(chēng)為擴散系數。
我們想要研究,隨著(zhù)時(shí)間的增加,熱量如何在長(cháng)為L(cháng)的金屬棒中傳導的。
金屬棒的一端在
處,另一端在
處。金屬棒的長(cháng)度遠大于它的截面半徑,所以我們可以把熱傳導看成是x和t的函數。
假設金屬棒的比熱容是已知的,如果我們能找到溫度
的函數,我們就能知道熱量是如何擴散的。
假設棒沿其長(cháng)度方向是絕熱的,因此它只能通過(guò)兩端吸收或散發(fā)熱量。這意味著(zhù)溫度分布只取決于以下三個(gè)因素:
●初始溫度分布情況
,這叫做初始條件。
●金屬棒兩端的溫度,
和
這些叫做邊界條件。
●熱量在金屬棒內由一點(diǎn)傳遞到另一點(diǎn)的規律。熱方程是這種物理定律的數學(xué)表示。
對于一組特定的初始和邊界條件,求解偏微分方程的問(wèn)題被稱(chēng)為初始邊值問(wèn)題
。
在本文中,我們將求解的熱方程的初始邊值為
。這些叫做齊次邊界條件。
熱方程可以從能量守恒導出:金屬桿上某一點(diǎn)儲存的熱量的時(shí)間變化率等于進(jìn)入該點(diǎn)的凈熱量流量。這個(gè)過(guò)程顯然符合連續性方程。如果Q是各點(diǎn)處的熱量,V是熱量流動(dòng)的矢量場(chǎng),則:

根據熱力學(xué)第二定律,如果兩個(gè)相同的物體進(jìn)行熱接觸,其中一個(gè)比另一個(gè)熱,那么熱量必然以與溫度差成比例的速度從較熱的物體流向較冷的物體。因此,V與溫度的負梯度成正比,所以
,其中k為金屬的導熱系數。在一維中,它簡(jiǎn)化為
,其中
是
方向的單位向量。
,代入V和Q的表達式,得到熱方程:
,
。
在我們進(jìn)一步討論之前,我們需要證明對于任何有物理意義的初始和邊界條件,熱方程必須存在一個(gè)唯一的解。對此的正式證明超出了本文的范圍,因此我們將使用一個(gè)經(jīng)驗論證。
熱力學(xué)定律告訴我們,無(wú)論一開(kāi)始金屬棒的溫度分布是怎樣的,系統必須經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程,使金屬棒達到熱平衡,我們在前面講過(guò)這個(gè)過(guò)程必須服從熱方程,因此,對于有物理意義的初始和邊界條件,熱方程的解是存在的。此外,經(jīng)典物理學(xué)的基本假設之一是,相同的實(shí)驗條件必然會(huì )導致相同的結果,因此,金屬棒進(jìn)入熱平衡的特定方式,由初始條件和邊界條件所唯一規定。
這意味著(zhù),對于熱方程,如果
和
是兩個(gè)不同的函數且滿(mǎn)足相同的
,那么
和
有相同的形式。此外,熱方程是線(xiàn)性的,因此如果
和
是解,
和
是任何實(shí)數,那么
也是一個(gè)解。所以我們可以得出結論,解是相同形式的函數的線(xiàn)性組合。
考慮下面的函數,我們可以通過(guò)試錯來(lái)推測:

其中n是大于0的正整數。該??數滿(mǎn)足熱方程:
。
,
。
這個(gè)函數也滿(mǎn)足邊界條件,因為
。因此通解為:

如果我們能找到系數
,使這個(gè)通解滿(mǎn)足初始條件,問(wèn)題就解決了。也就是說(shuō),我們需要找到一個(gè)
,這樣:

這叫做初始條件下的傅里葉正??級數展開(kāi)式。系數
叫做傅里葉系數。
初始條件
是區間
上的分段連續函數,且在邊界處為零。結果證明具有這些性質(zhì)的函數集合是加法和標量乘法下的向量空間。我們稱(chēng)這個(gè)向量空間為:
。
這個(gè)向量空間有一個(gè)內積。對于
,一個(gè)可能的內積為:

我們可以通過(guò)使用單位向量的點(diǎn)積將其投影到軸上來(lái)找到幾何向量的分量,單位向量構成了的基。同樣,如果我們能為找到一個(gè)基,那么我們可以將任何
投影到基函數上,以便將f表示為基函數的線(xiàn)性組合。

●求v的分量
對于整數
,函數
是標準正交的:

因此,我們可以將任意函數f∈表示為基集中函數的線(xiàn)性組合:

線(xiàn)性組合的系數由歐拉積分給出:

作為演示,讓我們找到一個(gè)單位鋸齒脈沖的傅立葉系數:


顯然,
,因此:
。
傅里葉系數為:

因此,鋸齒波的傅里葉級數展開(kāi)為:

下面的動(dòng)圖展示了,隨著(zhù)
項的增加,傅里葉級數如何接近鋸齒狀(波形)的。

附近的誤差稱(chēng)為吉布斯現象。吉布斯現象是一種不可避免的誤差,它使不連續函數的傅里葉級數將不連續時(shí)的函數值高估約9%。吉布斯現象永遠不能完全消除,但當傅里葉級數中的項數接近無(wú)窮時(shí),誤差收斂到完全局限于不連續點(diǎn)。例如,如果在鋸齒形的傅里葉級數展開(kāi)式中包含無(wú)限項,我們會(huì )發(fā)現當
時(shí),級數將完全等于x,而在
時(shí),級數的值約為
。
這告訴我們,求解熱方程的齊次
等于使用歐拉積分來(lái)求傅里葉系數:
,
,
例:金屬棒初始溫度是均勻的
假設一個(gè)絕熱的,一米長(cháng)的金屬棒擴散系數為
(不現實(shí),為了方便作圖),最初溫度為
,在溫度為
、
時(shí)夾緊冷卻元件。初始條件和邊界條件為:


傅里葉系數是:

讓我們來(lái)驗證這個(gè)匹配初始和邊界條件的傅里葉級數:

所以,解是:
,
現在讓我們畫(huà)出解:

作為一個(gè)三維圖:

例:溫度“尖峰”
現在假設金屬棒每個(gè)地方的初始溫度都是0°C,除了中間10厘米的溫度是
,這次的擴散系數是
。


計算傅里葉系數最簡(jiǎn)單的方法是把它們轉換成更一般的形式:

,
,
,
所以解是:
,

雖然金屬棒最終會(huì )達到熱平衡狀態(tài),但是5秒后溫度下降的非常緩慢,所以動(dòng)畫(huà)值展示5秒。下面是3D圖:

例:隨機熱分布
這一次,這根金屬棒,我們假設是銅做的,擴散系數為
,它的熱量分布是隨機的(以10厘米為一段),如下表:

???這種情況下,最好是通過(guò)數值積分來(lái)求傅里葉系數而不是試圖找到一個(gè)封閉式的表達式。
下面是一個(gè)解的動(dòng)畫(huà):

240秒后,溫度的變化非常緩慢。最有趣的行為發(fā)生在最初的60秒:

結束語(yǔ)
這就是第一部分的內容,F在你知道了如何解最簡(jiǎn)單的情況下的熱方程,你可以使用熱方程來(lái)分析更有趣的問(wèn)題。
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